Funkcje tego samego kąta są ze sobą powiązane. Dzięki temu z jednej wartości obliczysz pozostałe, uprościsz wyrażenie i udowodnisz równość.

1

Najważniejszy wzór: jedynka trygonometryczna

sin²α + cos²α = 1

To twierdzenie Pitagorasa zapisane za pomocą funkcji. Jeśli przyprostokątne mają długości x, y, a przeciwprostokątna r, to x² + y² = r². Podziel obie strony przez r² — otrzymasz powyższy wzór.

Kiedy użyć? Gdy znasz sinus i szukasz cosinusa albo odwrotnie.

Wiesz, że sin α = 3/5, a α jest ostry.

cos²α = 1 − 925 = 1625
cos α = 45

Wybieramy dodatni pierwiastek, bo cosinus kąta ostrego jest dodatni.

2

Tangens i cotangens z sinusa i cosinusa

tg α = sin αcos α ctg α = cos αsin α

tg α · ctg α = 1

To odwrotne ilorazy. Jeśli tg α = 3, to ctg α = 1/3.

Jeśli znasz tylko tangens: z tg α = 3 otrzymasz sin α = 3cos α. Podstaw do jedynki: (3cos α)² + cos²α = 1. Dalej 10cos²α = 1, więc cos α = 1/√10, a sin α = 3/√10.

3

Co to znaczy „udowodnij tożsamość”?

Masz pokazać, że dwie strony są równe dla każdego dopuszczalnego kąta. Sprawdzenie jednego kąta, np. 30°, nie jest dowodem.

Zacznij od bardziej skomplikowanej strony.
Zamień tg i ctg na ilorazy sinusa i cosinusa, jeśli to pomaga.
Użyj sin²α + cos²α = 1. Skracaj tylko całe czynniki.
Doprowadź zapis do drugiej strony równości.

Przykład: wykaż, że 1 − cos²α = sin²α.

Z jedynki sin²α + cos²α = 1 odejmij cos²α od obu stron. Otrzymujesz dokładnie to, czego trzeba dowieść.

4

Kąty dopełniające: razem 90°

Dwa kąty ostre trójkąta prostokątnego sumują się do 90°. Bok naprzeciw jednego kąta jest przyprostokątną przy drugim. Stąd:

sin α = cos(90° − α)
cos α = sin(90° − α)
tg α = ctg(90° − α)
ctg α = tg(90° − α)

Przykład: sin 25° = cos 65°, ponieważ 25° + 65° = 90°.

Dlatego sin²20° + sin²70° = sin²20° + cos²20° = 1.

5

Czy dwie liczby mogą być sinusem i cosinusem?

Jeśli obie liczby a i b należą do (0,1) i a² + b² = 1, istnieje kąt ostry α taki, że sin α = a i cos α = b.

Przykład: 3/5 i 4/5 pasują, bo 9/25 + 16/25 = 1. Liczby 1/2 i 1/2 nie pasują, bo suma ich kwadratów wynosi 1/2.

6

Przydatne ograniczenia

sin α · cos α ≤ 1/2
1 < sin α + cos α ≤ √2

Te nierówności dotyczą kąta ostrego. Równość po prawej stronie zachodzi dla α = 45°.

Skąd pierwsza? Kwadrat nie może być ujemny: (sin α − cos α)² ≥ 0. Rozwiń nawias i użyj jedynki. Dostaniesz 1 − 2sin αcos α ≥ 0.

Skąd druga? (sin α + cos α)² = 1 + 2sin αcos α ≤ 2. Suma jest większa od 1, bo w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych jest większa od przeciwprostokątnej.

7

Podwojony kąt — nie podwojona wartość funkcji

sin 2α = 2sin αcos α
cos 2α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α

Zapis sin 2α oznacza sinus kąta 2 · α. Nie jest równy 2sin α.

Kiedy użyć? Gdy znasz wartość dla kąta dwa razy większego, np. chcesz obliczyć funkcję dla 15°, a znasz wartości dla 30°. W przykładzie geometrycznym z książki przyjmujemy 0° < α < 45°.

Obliczamy cos 15°.

cos 30° = 2cos²15° − 1, więc cos²15° = (2 + √3)/4. Cosinus jest dodatni, zatem:

cos 15° = √(2 + √3)2 sin 15° = √(2 − √3)2

Uważaj

sin²α + cos²α = 1, ale sin α + cos α nie jest równe 1 dla kąta ostrego. Potęgi mają znaczenie. Nie skracaj również składników sumy tak, jakby były czynnikami iloczynu.

Sprawdź, czy rozumiesz: Jeśli tg α = 2, ile wynosi ctg α?

ctg α = 1/2. Iloczyn tangensa i cotangensa tego samego kąta wynosi 1.